Ein häufiges Problem bei der statistischen Datenanalyse ist die Frage, ob signifikante Unterschiede in den Mittelwerten zweier Subpopulationen bestehen: Leihen Frauen beispielsweise im Mittel signifikant mehr aus als männliche Bibliothekskunden? Tätigen Kunden im Ruhestand im Mittel weniger Verlängerungen als junge Kunden?
Von einem signifikanten Unterschied spricht man, wenn die Differenz zwischen den Mittelwerten zweier Stichproben so groß ist, dass es sehr Unwahrscheinlich ist, dass dieser Unterschied alleine aufgrund der rein zufälligen Schwankungen durch die Stichprobenziehung entstanden ist.
Wenn wir mit $\mu_x$ und $\mu_y$ die wahren aber unbekannten Mittelwerte in der Population bezeichnen und mit $\Delta_{xy}$ die Differenz dieser Mittelwerte, dann lautet unsere **Hypothese**:
$$ H_0: \mu_x = \mu_y \iff \Delta_{xy} = \mu_x - \mu_y = 0 $$
Wenn diese Hypothese zutrifft, dann gibt es keine Unterschiede in den Mittelwerten der beiden Populationen. Wie lässt sich diese Hypothese nun anhand von zwei Stichproben $x = x_1, \dots, x_{n_x}$ und $y = y_1, \dots, y_{n_y}$ und deren Mittelwerten $\bar{x}$ und $\bar{y}$ statistisch überprüfen?
Wir können das bisherige Bootstrapping-Verfahren auch hier anwenden, um die Stichprobenverteilung von $d_{xy} = \bar{x}-\bar{y}$ zu schätzen. In jeder Simulation $s = 1, \dots, S$ erstellen wir eine Bootstrapping-Stichprobe von $x$ und $y$ und berechnen darauf die Differenz $d_{xy}$ über die Mittelwerte.
Beachten Sie, dass sich das grundlegende Verfahren und die Bestimmung der Konfidenzintervalle im Vergleich zur vorherigen Lektion nicht ändert. Einzig der zu interessierende Schätzwert wird ausgetauscht: Wo vorher nur die Stichprobenverteilung von $\bar{x}$ bestimmt wurde, ist es nun die Verteilung von $d_{xy} = \bar{x}-\bar{y}$.
Zum Signifikanzniveau $\alpha=0.05$ erhalten wir mit den Quantilen $d_{\frac{\alpha}{2}}$ und $d_{1-\frac{\alpha}{2}}$ das 95%-Konfidenzintervall für die Mittelwertdifferenz. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $1-\alpha = 95\%$ überdeckt das Konfidenzintervall damit den unbekannten Populationsparameter $\Delta_{xy} = \mu_x - \mu_y$.
Liegt das Konfidenz-Intervall für die Differenz zweier Mittelwerte ausschließlich im positiven oder negativem Bereich (also außerhalb des Nullpunktes), können wir daraus schließen, dass die beiden Stichproben mit hoher Evidenz unterschiedlichen Populationen mit verschiedenen Mittelwerten entstammen. Die aufgestellte Hypothese kann deswegen abgelehnt werden.
Überdeckt das KI hingegen die Null, so kann nicht ausgeschlossen werden, dass die wahre Mittelwertdifferenz Null ist. In diesem Fall können wir die Hypothese nicht ablehnen.
import pandas as pd
alpha = 0.05
S=10000
x = pd.Series([3, 3, 5, 8, 7, 3, 2, 5, 8, 1])
y = pd.Series([3, 10, 9, 8, 2, 3, 6, 7, 11, 6])
print((x.mean(), y.mean()))
dxy = []
for i in range(S):
x_mean = x.sample(n=len(x), replace=True).mean()
y_mean = y.sample(n=len(y), replace=True).mean()
dxy.append(x_mean - y_mean )
pd.Series(dxy).quantile((alpha/2, 1-alpha/2))